Spaces of Piecewise Linear Manifolds

In this thesis we introduce a ∆-set Ψ d (R )• which we regard as the piecewise linear analogue of the space Ψd(R ) of smooth d-dimensional submanifolds in R introduced by Galatius in [4]. Using Ψ d (R )• we define a bi-∆-set Cd(R )•,• whose geometric realization BC d (R ) = ∥∥Cd(RN )•,•∥∥ should be interpreted as the PL version of the classifying space of the category of smooth d-dimensional cobordisms in R , studied in [7], and the main result of this thesis describes the weak homotopy type of BC d (R ) in terms of Ψ d (R )•, namely, we prove that there is a weak homotopy equivalence BC d (R ) ' ΩN−1|ΨPL d (R )•| when N − d ≥ 3. The proof of the main theorem relies on properties of Ψ d (R )• which arise from the fact that this ∆-set can be obtained from a more general contravariant functor PL → Sets defined on the category of finite dimensional polyhedra and piecewise linear maps, and on a fiberwise transversality result for piecewise linear submersions whose fibers are contained in R × (−1, 1)N−1 ⊆ R . For the proof of this transversality result we use a theorem of Hudson on extensions of piecewise linear isotopies which is why we need to include the condition N − d ≥ 3 in the statement of the main theorem. Resumé I denne afhandling introducerer vi en ∆-mængde Ψ d (R )• som vi betragter som den stykkevis lineære analog til rummet Ψd(R ) af glatte d-dimensionale delmangfoldigheder i R introduceret af Galatius i [4]. Ved at benytte Ψ d (R )• definerer vi en bi-∆-mængde Cd(R )•,• hvis geometriske realisationBC d (R ) = ∥∥Cd(RN )•,•∥∥ bør fortolkes som PL versionen af det klassificerende rum for kategorien af glatte d-dimensionale kobordismer i R , studeret i [7], og afhandlingens hovedresultatet beskriver den svage homotopitype af BC d (R ) ved hjælp af Ψ d (R )•, nemlig, vi beviser at der findes en svag homotopiækvivalens BC d (R ) ' ΩN−1|ΨPL d (R )•| n̊ar N − d ≥ 3. Beviset for hovedsætningen bygger p̊a egenskaper ved Ψ d (R )•, som stammer fra at denne ∆-mængde kan udledes fra en mere generel kontravariant funktor PL → Sets defineret p̊a kategorien af endelig dimensioanle polyeder og stykkevis linære afbildninger, og p̊a et fibervist transversalitetsresultat for stykkevis linære submersioner hvis fibre er indeholdt i R × (−1, 1)N−1 ⊆ R . I beviset af dette transversalitetsresultat benytter vi en sætning af Hudson om isotopiudvidelser, hvilket er grunden til at vi er nødt til at inkludere betingelsen N − d ≥ 3 i formuleringen af hovedsætningen. SPACES OF PIECEWISE LINEAR MANIFOLDS